*본 포스팅은 과거 기사로

2017년 6월 12일에 발행됐습니다.

 

미국 종합 경제지인 포춘은

미국의 상위 500대 기업을 선정하는

‘포춘 500’이라는 조사를 합니다.

 

그중에서도 상위 기업들이

신입 사원에게 가장 가치 있는 능력이

무엇인가에 대해 어떻게 생각하는지

조사해 내놓기도 했는데요.

 

1970년에 이들이 중요시했던

능력은 다음과 같습니다

 

(사진=아웃스탠딩)

(사진=아웃스탠딩)

 

하지만 1999년 포춘에서

동일한 조사를 했을 때

응답은 달라졌습니다.

 

1970년에 중시됐던 능력 중

한 손에 꼽히던 계산능력은

10위권 밖으로 밀려납니다.

 

(사진=아웃스탠딩)

(사진=아웃스탠딩)

 

대신 그 자리를

팀워크, 문제 해결력, 청해력

대인관계 기술 등이 차지합니다.

 

구글과 같은 기업들도

과거 중요했던 능력들을 보여주는

학점, 학과 성적과 같은 항목을 더는

중요 지표로 반영하지 않게 됐는데요.

 

학교에서 배우는 수학이야말로

더는 삶에 필요한 능력을

가르쳐주지 않는다는 의미일까요?

 

(참조 – 구글 인사담당자는 성적을 보지 않는다)

 

(사진=영화'행복은 성적순이 아니잖아요')

(사진=영화’행복은 성적순이 아니잖아요’)

 

정작 밤새 열심히 수학 공부를 해도

세상이 내가 배운 수학을 쓸모없다 말하면

 

인재들의 노력과 시간, 비용은

무엇으로 보상할 수 있을까

고민도, 낙담도 듭니다.

 

 

하지만 여기, 수학이야말로 삶에

가장 큰 도움이 된다고

가르치는 사람이 있습니다.

 

『수학 따위가 뭐라고?』의 저자인

스탠퍼드대 수학교육과

조 불러 교수는 다음과 같이 말합니다.

 

boaler

 

수학은 세계를 이해하기 위한

아이디어들의 모음이며

끊임없이 변화합니다

 

“수학은 논리와 창의성, 연결성 만들기

방법에 대한 이해를 해야 하는

다면적인 과목이죠”

 

저서 『스탠퍼드 수학공부법』에서

교수는 전혀 다른 수학 교육법을 통해

 

수학에 대한 이해뿐만 아니라

삶 전반에 필요한 능력치를

기를 수 있다고도 설명하죠.

 

저도 처음에는 그의 주장을 접하고

좋은 말이지만 와닿지 않는다는

회의적인 입장이었는데요.

 

스탠퍼드 수학공부법

 

책 전반을 익히고 나니

책에 나와 있는 수학교육법이

수학을 배우고 가르치는 사람뿐 아니라

 

꾸준히 새로운 사람을 받고

변화하는 트렌드를 따르는 회사에도

참고할만 하다는 인상을 받았습니다.

 

그래서 이번 기사에서는

지금과 전혀 다른 수학교육법으로

수학적 사고를 만들었던

사례들을 소개해볼까 합니다:)

 

1.왜 하필 수학인가?

 

수학자 콘래드 울프럼은 수학하는 데

4가지 단계가 있다고 주장합니다.

 

그의 주장에 따르면 우리가

수학을 하려면

 

제대로 된 질문을 만들고

실제 상황을 수학적으로 바꾸며

계산하고

수학 모델에서 원래 문제의 답을 낸다.

 

이 4가지 단계를 거치게 됩니다.

 

어떤 데이터나 상황을 토대로

필요한 질문을 만드는 건

어떤 일터에서건 필요한

첫번째 수학적 행위라고 하는데요.

 

마치 빅데이터 분석가처럼

어떤 조직에서나 가장 원하는

능력치 중 하나라고 합니다.

 

boaler

 

“제대로 된 질문을 던지고

모델을 세워 결과를 분석하고

 

수학적 해답을 현실 세계의 답으로

끌어내는 사람이야말로

기업에서 원하는 인재입니다”

 

콘래드 울프럼 울프럼알파 이사

 

“헌데 학교 수학 시간의 80%는

손으로 계산하는 3번째 단계에

쏟아붓고 있습니다

 

“계산기나 컴퓨터가

대신할 수 있는데도 말이죠”

 

(울프럼알파 연구소 콘래드 울프럼 이사)

 

데이터를 파악해 제대로 된 질문을 던지고

그걸 해결할만한 수학적 모델을 세워

필요한 해답을 분석해 추론하는 능력,

수학적 해답을 현실 세계로 적용하는 능력

 

현재 수학 시간에서 배우고 연습해볼 만한

1,2,4단계라는 겁니다.

 

앞서 말씀드린 포춘 500의 순위 중

문제 해결 능력, 창조적 사고 등이

(모든 단계의) 수학을 공부하면서

기를 수 있는 능력치입니다.

 

리온 버튼 캠브리지대 수학교육과 명예교수

 

“또한 수학자들의 연구 성과를 조사해보니

수학자들이 출간한 논문의 절반

이상이 협력을 통해 완성된 것입니다”

 

(리온 버튼 캠브리지대 수학교육과 명예교수)

 

학창시절 수학 시간을 생각해보면

모두가 침묵을 금(?)으로 삼고

묵묵히 자기 책과 칠판만 번갈아 봤지만

 

사실 수학을 가르칠 때 토론은

굉장히 중요한 도구라는 의미입니다.

 

조 불러 교수 또한

학생들이 수학적 아이디어를

다 함께 이해하는 데 토론이

매우 큰 도움이 된다고 설명합니다.

 

팀워크, 대인관계 기술, 구두 의사소통 능력에

리더십, 조직 유효성 등을 기르는 데

수학도 분명 기여할 수 있다는 겁니다.

 

수학을 통해 계산 능력 외에

굉장히 다양한 능력을 기를 수 있고

이 능력들이야말로 오늘날 사회에서

가장 필요로 하는 역량임을 알 수 있네요.

 

콘래드 울프럼 울프럼알파 이사

 

고용주가 가치 있다고 여기는 팀워크는

수학적 추론에 기반을 둔 겁니다”

 

“오늘날 직장에서

수학적 추론을 할 수 없는 사람은

무능하죠”

 

“계산에 대한 답만 내는 게 아니라

답을 통해 추론할 수 있어야 합니다

 

2.어떻게 수학이 도움이 될까?

 

황당

물론 앞서 ‘왜 수학을 배워야 하는가’는

굉장히 이상적이고 좋은 말이지만

우리는 그렇지 못했던 수학 수업에 대한

사례를 경험적으로 많이 알고 있습니다.

 

대개 성적을 내기도 벅찼거나

온갖 쪽지시험에 치이는 식이었죠.

 

그렇다면 저자인 조 불러 교수는

어떻게 ‘수학은 필요하다’는 명제를

참이라고 증명했을까요?

 

 

조 불러 교수는 미국 국립과학재단과 함께

캘리포니아에 위치한 레일사이드 고등학교에서

수학 성적에 따라 반을 나누지 않고

함께 수학을 배우는 모둠 활동을 진행했는데요.

 

4년간 학생들이 수학에 대해 어떻게 느끼고

어떤 성취를 보이는지 연구했습니다.

 

결과부터 말하자면 근처 다른 학교보다

성취도가 현저하게 낮았던 학생들은

1년 후 주변 학교의 성적을 따라잡았습니다.

 

(모둠활동으로 수학 수업을 진행하기 전에 치룬 초기 평가 시험 사진=저서)

(모둠활동으로 수학 수업을 진행하기 전에 치룬 초기 평가 시험 사진=저서)

 

다른 학교에서 학생들이

수학 성적에 따라 등급을 받고

그에 따라 반을 나눠 수업을 들을 때

 

레일사이드 학교 학생들은

수업 방식을 바꾼 지 2년 후

전통적인 방법으로 공부한 학생보다

월등히 높은 수학 성취도를 보였습니다.

 

(수업방식을 바꾸고 2년 후 평가 시험 점수. 오른쪽 점수가 레일사이드 학교 학생들의 것. 사진=저서)

(수업방식을 바꾸고 2년 후 점수. 오른쪽 점수가 레일사이드 학교 학생들 것. 사진=저서)

 

심지어 다른 학교에선

27%만이 미적분 전 과정을 수강할 때

 

레일사이드 학교 학생들은

41%가 미적분 전 과정을 수강했고

인종 간의 성적 차이가

사라지는 결과를 보였습니다.

 

이런 놀라운 결과를 만들기 위해

연구진은 복합 수업의 원칙들

수학 수업에 적용했을 뿐입니다.

 

*다차원성

 

다차원적 수학 수업에선

문제를 푸는 것 외에 모든 방법을

수학적 행위로 평가합니다.

 

이야기들음

“수학을 잘하기 위해서는

어떻게 해야 할까요?”

 

이 질문을 받았을 때

나올 수 있는 모든 해답이

수학적 행위로 다뤄지는 식입니다.

 

대개 전통적인 수업에선

혼자 문제에 집중해 어떻게든 정답을 내는 게

수학을 잘하는 기준으로 여겨졌습니다.

 

하지만 모둠 활동으로

수학을 공부했던 레일사이드 학생들은

수학을 잘하는 데 필요한 방법으로

아래와 같은 답변을 내놨습니다.

 

좋은 질문하기

문제를 다르게 표현해보기

설명하기

논리 사용하기

방법이 옳다는 걸 증명하기

구체적인 블록 쌓기

아이디어끼리 연결하기

다른 사람 돕기

 

다차원적인 방법을 떠올릴 수 있었던 건

그만큼 학생들이 다양한 방법으로

수학 개념을 익힐 수 있는

열린 수업이었기 때문입니다.

 

(사진=픽사베이)

(사진=픽사베이)

 

예컨대 학생들에게

‘크기가 다른 신발마다 필요한

신발 끈의 길이는 얼마나 될까?’라는

문제를 줬다고 상상해봅시다.

 

여기에는 두 가지 단서가 붙는데

하나는 신발 끈과 신발 크기의 관계를

살펴보라는 힌트

 

두 번째는 크기가 다른 신발을 만들 때

필요한 신발 끈의 길이를 구하기 위한

방정식을 만들라는 주문입니다.

 

괴로움

‘와. 벌써 머리가 터져버립니다’

 

하지만 레일사이드 학생들은

이 문제를 혼자가 아니라 함께 풉니다.

 

종이오리기

“이 문제를 어떻게 시작하지?”

 

슬픔

“문제가 이해되지 않아.”

 

폴짝폴짝

“일단 다 같이 큰 소리로 읽어보자!”

 

(한참 후)

 

물음표

“우리 각자 신고 있는 신발 있잖아.

거기에 있는 끈의 길이를 재보자!”

 

이해안됨

“근데 신발마다 신발 끈 구멍도 다르네?”

 

요가

“그러게. 이것도

신발 끈 길이랑 상관이 있겠지?”

 

교사는 학생들에게

실생활의 물건과 아이디어로 다룰 수 있는

개방적인 과제를 부여했는데요.

 

학생들은 답을 구해야 한다는 압박보단

서로에게 질문을 던지는 동시에

서로를 도와주면서 온갖 방법으로

‘신발 끈의 길이’에 대한 함수를 배웁니다.

 

(사진=giphy)

(사진=giphy)

 

*역할과 책임 심어주기

 

이 모둠 활동 중에 모든 학생이

각자 나름의 역할을 가지고

책임을 지키는 것도 복합 수업에서

매우 중요한 부분이라고 합니다.

 

한 학생이 모둠 전체가

문제에 집중할 수 있도록

독려하는 역할을 맡았다면

 

다른 한 명은 우리 모둠이

문제를 푸는 데 필요한 자, 계산기 등

도구나 자료를 챙기는 역할을 도맡고

 

누군가는 문제에 대한 아이디어를

모두가 이해할 만큼 충분히 설명하면서

중요한 설명을 기록하는 식입니다.

 

(사진=giphy)

(사진=giphy)

 

또한 모둠 활동을 하며

학생들이 서로의 학습에 책임을 지는

시스템을 적용해도 좋습니다.

 

이는 팀플의 피해를 막기 위해서라도 필요합니다.

 

괴로움

역할을 나눈다 했지만

결국 조장이 모든 걸 다하고

누군가는 잠수를 타거나

별 도움을 주지 않는 불상사.

 

누구든 학습에서 멀어지지 않도록

‘모둠’ 활동 구조를 다져야 하는데요.

 

조 불러 교수를 포함한 연구진은

수학 활동을 시작하기 전에 학생들에게

모둠 활동 때 다른 사람에게 기대하는 행동

하지 않았으면 하는 말에 대해

서로 논의하라고 주문했습니다.

 

수학 활동에 돌입하기 전에

모둠 활동에서 서로 지켜야 할 룰을 정해서

좀 더 사려 깊게 협업하는 환경을

미리 구축하는 겁니다.

 

(사진=giphy)

(사진=giphy)

 

후에 레일사이드 학교 교사들은

모둠이 푼 수학 문제에 대한 후속 질문을

모둠에 있는 학생 중 아무에게나 물어봅니다.

 

만약 학생들이 복합 수업에서

토론하며 역할을 다해 문제를 풀었다면

누구를 골라도 개념적인 질문에

답하기 수월할 겁니다.

 

만약 지목받은 학생이 대답을 못 할 경우

교사는 왜 모르냐고 당사자를 혼내거나

왜 도와주지 않았냐고 모둠을 책망하지 않고

 

좀 이따 다시 물어보기 전에

다른 학생이 그 학생을 도와줄 기회를 줍니다.

 

천진난만

“중학교에서는 수학 문제 푸는 기술을 배웠는데

여기선 사회성을 키우는 법을 공부해요.

친구들을 돕고 또 친구에게 도움을 얻는 법을

배우면서 수학 실력, 논리력도 키울 수 있죠

 

행복

“수학을 배우는 게 개인적이면서도

사회적이라고 생각해요”

 

“왜냐하면 제가 이해하고 있어야

남에게 설명하고 도와줄 수 있으니까요.

모두 다 그 문제를 이해하고 풀 수 있으려면

본인 스스로도 알아야 해요”

 

웃음

특히 이전부터 수학을 잘했던 학생들은

성적별로 분반할 때보다

여러 성적의 학생들이 모여 모둠으로

수학 활동을 할 때 더 실력이 늘었습니다.

 

모둠으로 수학 개념에 대해 토의하고

아이디어를 내고 자신이 이해한 것을

남을 위해 설명하면서 더 다차원적으로

수학을 공부했기 때문입니다.

 

나아가 학생들에게 늘

자기 답을 증명하는 것과

문제 풀이를 논리적으로

설명(추론)하라고 주문했더니

 

아직 성적이 안 좋은 학생들은

수학적 설명을 해달라고 편하게 요구할 수 있고

성적이 좋았던 학생들은 이를 통해

자기가 알던 개념을 제대로 이해합니다.

 

boaler

 

“이 과정을 통해 학생들은 나중에

사회에 나가 상호작용을 할 때 정말

중요한 무언가 배운 것으로 보입니다

 

“저는 이걸 관계적 공정성이라고 부릅니다.

복합 수업을 통해 학생들이

공정하게 모두가 성장할 수 있다는

마음가짐까지 배워가는 거죠”

 

3.어떻게 수학을 평가할 것인가?

 

“이때 열심히 공부하는 아이들에게

‘똑똑하다’고 칭찬하면 안 됩니다

 

궁금

지적하는 것도 아니고 좋은 칭찬인데?”

 

boaler

 

“‘똑똑하다’는 칭찬은 오히려

도전적인 과제를 하기 꺼리는

고정 마인드세트를 만들 수 있습니다

 

마인드세트란 흔히

바꾸기 어려운 사고방식을

일컫는 말인데요.

 

2000년대 중반에

미국 컬럼비아대 심리학과

캐럴 드웩 교수가 강조한 개념입니다.

 

 

그는 뉴욕의 스무 군데 초등학교

5학년 학생들을 대상으로

문제 풀기 실험을 했습니다.

 

한 집단에는 자신이 받은 점수를 알려주며

‘넌 참 똑똑하구나’라고 칭찬하는 한편

다른 집단에는 ‘참 열심히 했구나’라고

칭찬했습니다.

 

그러자 그다음 시험 문제에서

똑똑한 아이들은 자기가 풀 만한

쉬운 문제를 골랐습니다.

 

일부러 풀기 어려운 중학교 수준 문제를 주면

열심히 하는 아이들은 끝까지 열심히 풀면서

자신이 이 문제를 ‘좋아한다’고 답했지만

 

똑똑한 아이들은 문제를 비교적

쉽게 포기하면서 자신이 ‘똑똑하지 않아서’

풀지 못했다고 대답했습니다.

 

이때 똑똑하다는 현재 상태에 안주하는

‘고정 마인드세트’를 가진 학생에 비해

노력해서 앞으로 더 나아가려는 아이들은

‘성장 마인드세트’를 발달시킨 겁니다.

 

(사진=giphy)

(사진=giphy)

 

어떻게 칭찬하는가는

그 아이의 마음가짐뿐만 아니라

사실 뇌의 발달에도 영향을 미칩니다.

 

미시간대 심리학과에 재직 중인

제이슨 모저 교수의 연구에 따르면

사람들이 문제를 풀면서 실수할 때

가장 두뇌 활동이 활발하게 일어납니다.

 

실수를 알아채지 못했다 해도

실수가 주는 자극으로 인해 두뇌는

더 복잡하고 정교하게 무럭무럭

성장하게 되는데요.

 

이때 주목할 만한 점은

고정 마인드세트를 가진 사람보다

성장 마인드세트를 가진 사람이

실수했을 때 두뇌활동이

훨씬 더 크게 나타난다는 겁니다.

 

boaler

 

성장 마인드세트를 가진 사람은

실수했다는 사실을 더 잘 알아차리고

그러므로 실수를 바로잡기도

훨씬 더 쉽습니다

 

(왼쪽은 고정 마인드세트, 오른쪽은 성장 마인드세트를 가진 사람의 시냅스. 사진=Ted)

(왼쪽은 고정 마인드세트, 오른쪽은 성장 마인드세트를 가진 사람의 두뇌. 사진=Ted)

 

사진에서도 성장 마인드세트를 가진 사람이

실수했을 때 더 반짝반짝, 불끈불끈

두뇌 발달을 보인다고 알려줍니다.

 

그래서 더더욱 수학 활동에서

‘똑똑하다’는 칭찬은 독이 될 수 있습니다.

 

똑똑하다는 말이 곧

문제를 푸는 사람의 타고난 재능을

판가름하는 말이 되고

 

문제를 푸는 사람은 자기가

사실 똑똑한 사람이 아닐 수도 있다는 사실을

숨기기 위해 어려운 문제에 도전하기 꺼리고

자기 자신과 성적을 동일시하기 쉽습니다.

 

반면 투지(Grit)가 있는 사람은

등급이 아니라 자기의 노력을 더 신경 쓰고

실수를 피하기보다 받아들이고

고쳐나가기 원합니다.

 

이렇듯 마음가짐이 학생의 학습뿐 아니라

뇌 발달에도 영향을 줄 수 있다면

더더욱 수학 활동을 어떻게 평가할지도

수학 교육에서 중요한 전략이 될 겁니다.

 

boaler

 

“모둠 활동을 할 때도 어떻게 칭찬할지

세밀하게 고민하고 접근합니다”

 

“‘똑똑하다’와 같이 그 사람의

고유한 특질로 평가하지 말고

그 사람의 전략이나 과정에 대해

평가하는 식입니다”

 

놀람

“전략이 틀렸을 때는

뭐라고 평가해야 하나요?”

 

boaler

 

모든 실수에는 논리가 있습니다.

그 논리가 무엇인지 파악하고

그 논리가 다른 전략으로 치환하도록

진단평가를 내려주는 방식이 좋습니다”

 

“그동안 A,B,C 등급과 같이

평가하는 입장에서 편한 방법을 썼지만

이젠 누구에게든 의미를 낳는

평가를 해야 한다고 생각합니다

 

황당

“그럼 등급은 아무 의미 없는 건가요?”

 

boaler

 

“아니요. 등급을 매길 순 있지만

아직 배우는 과정에서 그 등급으로

그 사람의 실력을 판단하면 안 된다는 거죠

 

“최종적인 등급은 최대한

당사자 말고 평가를 하는 집단끼리만

마지막에 공유하는 게 좋다고 봅니다”

 

 

책을 쭉 읽으면서

수학 교육에 대한 방법론을 다루는 책이지만

 

내가 나를 계발하는 방식부터

회사에서 인재를 대하는 법에 대해서도

생각해보게 하는 구절들이 많았습니다.

 

휴식

여러분은 이 책에 대해 읽으며

어떤 아이디어를 떠올리셨나요?

 

수포자, 혹은 “문송합니다”라는 말이

농담처럼 쓰일 정도로 지금의 수학 교육은

우리 일상과는 거리가 멀어 보였는데요.

 

이 책을 읽으며 얻은 가장 큰 수확은

 

질문을 찾아내고, 데이터의 패턴을 읽으며

해결책을 추론하고 증명하는 작업,

그걸 협업할 수 있다고 가르쳐주는 학문으로

수학을 배울 수 있다는 가능성입니다.

 

이게 필요하다는 논의가 지금이라도

시작될 수 있지 않을까 하는 바람이죠!

 

능글

수학자까지는 아니더라도

수학적 사고를 기른다면

큰 패턴을 알아차려야 살아남는

데이터 사이언티스트의 시대에

최적화 캐릭터라고 할 수 있겠죠?

 

앞으로 열심히 고군분투할 저를 위해

나아가 수학적 사고가 중요해질

다음 세대를 위해서라도

 

‘삶과 맞닿은 수학’을 배우는 세상이

빨리 도래했으면 좋겠습니다:)

 

키스 데블린 스탠퍼드대 인문과학기술 연구소 선임연구원 이사

 

추상적인 패턴은

사상과 의사소통, 계산, 사회

그리고 삶 그 자체의 핵심입니다

 

“그렇기에 우리 삶의 모든 방면은

크든 작든 간에 추상적인 패턴에 관한

과학인 수학의 영향을 받습니다”

 

(스탠퍼드대 H-STAR 연구소 키스 데블린 교수)

 

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